2020届山西省高三适应性调研数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

二、多选题

3. 难度：简单

由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（    ）

A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

三、单选题

4. 难度：中等

展开式中的系数为（    ）

A.10 B.24 C.32 D.56

5. 难度：中等

已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6. 难度：简单

函数在的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

如图，在四棱锥中，，是的中点，在上且，在上且，则（    ）

A.，且与平行 B.，且与相交

C.，且与异面 D.，且与平行

8. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为10，则输出的值为（）

A.5 B.6 C.7 D.8

10. 难度：中等

设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为

A. B. C. D.

11. 难度：中等

现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（    ）

A. B. C. D.

四、填空题

13. 难度：简单

若，，，则与 的夹角为______________.

14. 难度：中等

记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则________.

15. 难度：中等

某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重，次品重，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第袋取出个产品（），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量_________；若次品所在的袋子的编号是，此时的重量_______.

16. 难度：中等

已知点是双曲线右支上一动点，是双曲线的左、右焦点，动点满足下列条件：①，②，则点的轨迹方程为________________.

五、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，所对的边分别是，，，且

（1）求角的大小；

（2）设，，求的值．

18. 难度：中等

为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.

（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；

（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？

19. 难度：中等

如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆弧上的一动点（不与重合），点是圆弧的中点，且点在平面的两侧.

（1）证明：平面平面；

（2）设点在平面上的射影为点，点分别是和的重心，当三棱锥体积最大时，回答下列问题.

（ⅰ）证明：平面；

（ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的图象最低点为，正数满足，求的取值范围.