河北省石家庄市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（     ）

A.40 B.30 C.20 D.12

2. 难度：简单

某中学高三从甲、乙两个班中各选出名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是，乙班学生成绩的中位数是，則的值为（   ）

A.  B. C.  D.

3. 难度：简单

椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

若，满足则的最大值为（ ）

A.0 B.1 C. D.2

5. 难度：中等

七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

已知曲线上一点，则点处的线方程为（     ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

设命题：函数在上为单调递增函数；命题：函数为奇函数，则下列命题中真命题是（     ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

设，“命题”是“命题”的（     ）

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x＋4)²＋y²＝1和(x－4)²＋y²＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为                               （    ）

A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12

12. 难度：中等

已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则（     ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

函数的极小值为_______．

14. 难度：简单

在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x²＋y²＝9内部的概率为________．

15. 难度：简单

已知椭圆的一个焦点为，经过点且斜率为1的直线与该椭圆交于，两点，则线段的长为__________.

16. 难度：困难

已知点是抛物线的对称轴与其准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.

三、解答题

17. 难度：简单

为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间，，内的频率之比为.（计算结果保留小数点后面3位）

（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间内的概率.

18. 难度：简单

已知圆过三点，直线.

（Ⅰ）求圆的方程

（Ⅱ）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.

19. 难度：简单

现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量与单位成本统计数据如下：

月份	1	2	3	4	5	6
产量（千件）	2	3	4	5	4	5
单位成本（元/件）	73	72	71	73	69	68

（Ⅰ）试确定回归方程；

（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？

（Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？

（参考公式：.）

（参考数据  ）

20. 难度：困难

四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.

（1）证明：；

（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

21. 难度：困难

过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，且.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（，均不与点重合）.设直线，的斜率分别为，，.直线是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.

22. 难度：困难

已知函数,其中

为自然对数的底数.

(1)当时，讨论函数的单调性;

(2)当时，求证:对任意的.