2020届黑龙江省哈尔滨市高三综合题（三）数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是

A. B.

C. D.

3. 难度：中等

公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

如图3给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

将函数向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，则（    ）

A.1 B. C. D.2

8. 难度：中等

向一个边长为的正三角形内随机投一点，则点到三边的距离都不小于1的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点．那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于 ( )．

A. B. C. D.

11. 难度：中等

若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知点是双曲线左支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，，，双曲线离心率为，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知为虚数单位，则复数的虚部是______.

14. 难度：简单

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为______元.

15. 难度：中等

中，，，，为边上一动点，则的最小值为______.

16. 难度：困难

对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．

①               ②

③          ④

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的取值范围.

18. 难度：简单

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶如图所示.

（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；

（Ⅱ）若从乙车间件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过克的概率.

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，是中点，点在上.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

已知函数在点处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

如图，已知椭圆的离心率为，右准线方程为，、分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）记、的面积分别为、，若，求的值；

（3）设线段的中点为，直线与右准线相交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求的值.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，若曲线与曲线关于直线对称.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.

23. 难度：中等

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.