2020届山东省青岛市高三上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

若复数z满足，则z的实部为

A.1 B. C.2 D.

3. 难度：中等

已知是等差数列的前项和，，，则（）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 难度：中等

命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（   ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

如图，双曲线的右顶点为A，右焦点为F，点B在双曲线的右支上，矩形OFBD与矩形AEGF相似，且矩形OFBD与矩形AEGF的面积之比为2：1，则该双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

8. 难度：简单

已知定义在上的函数满足，，且当时，，则（    ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

9. 难度：中等

已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为(  )

A. B.0 C. D.

10. 难度：中等

记为正项等比数列的前n项和，若，且正整数m,n满足， 则的最小值是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题

11. 难度：中等

（多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（    ）

A.的内角 B.的内角

C.四边形面积的最大值为 D.四边形面积无最大值

12. 难度：中等

（多选题）下列说法中，正确的命题是（    ）

A.已知随机变量服从正态分布，，则．

B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．

D.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．

13. 难度：困难

设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、填空题

14. 难度：中等

若，则的值为_______．（用表示）

15. 难度：简单

若在△ 中,，其外接圆圆心满足，则__________.

16. 难度：中等

已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积=________．

17. 难度：中等

已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.

四、解答题

18. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，，，，且角D与角B互补，.

（1）求的面积；

（2）求的周长.

19. 难度：中等

如图，四棱锥的一个侧面为等边三角形，且平面平面，四边形是平行四边形，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，且，数列满足：，且（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的 前项和

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为是上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．

22. 难度：困难

某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中.

（1）求这300名玩家测评分数的平均数；

（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为，且每款游戏之间改进与否相互独立.

（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；

（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.

23. 难度：困难

已知函数，其中，，为自然对数的底数.

（1）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；

（2）若，且存在两个极值点，，求证：.