山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知是等比数列，且，，那么的值等于（     ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知，，那么下列不等式成立的是（     ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知双曲线 的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（     ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 难度：简单

如图，在正方体中，，分别是上底棱的中点，与平面所成的角的大小是（     ）

 

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ）

A.有最小值 B.有最小值

C.有最小值 D.有最小值4

7. 难度：简单

我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（     ）

A.2 B.3 C.4 D.6

8. 难度：困难

已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

以下说法正确的有（     ）

A.实数是成立的充要条件

B.对恒成立

C.命题“，使得”的否定是“，使得”

D.若，则的最小值是

10. 难度：中等

如图，在边长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，下列结论正确的是（     ）

A.的长度的最大值为2 B.的长度的最小值为

C.的长度的最大值为 D.的长度的最小值为

11. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，则双曲线的离心率不可以是（     ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，若方程有4个零点，则 的可能的值为（     ）

A. B.1 C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

记S_n为等比数列{a_n}的前n项和.若，则S₄=___________．

14. 难度：中等

正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围

是        ．

15. 难度：中等

已知函数，则函数的极大值为 ___________．

16. 难度：中等

已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， （其中为坐标原点），则△ 与△面积之和的最小值是___________，当△ 与△面积之和最小值时直线与轴交点坐标为__________ .

三、解答题

17. 难度：简单

设为数列的前n项和，已知，对任意，都有．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ若数列的前n项和为，求证：．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知函数在点处的切线方程是．

（1）求实数 的值；

（2）求函数在 上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.

20. 难度：中等

国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元.

（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；

（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.

21. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为.

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M于点C.若，求k的值.

22. 难度：困难

已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围．