上海市2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

直线的单位方向向量为______．

2. 难度：简单

若为互相垂直的单位向量，已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________________．

3. 难度：简单

若直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程是______．

4. 难度：中等

若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.

5. 难度：简单

已知直线，若直线与关于对称，则的方程为______．

6. 难度：简单

函数的最小值为______．

7. 难度：困难

在△中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若△的面积为，则的最小值为         .

8. 难度：中等

如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是____．

9. 难度：中等

已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为_______

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

二、单选题

11. 难度：中等

已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：

①；

②；

③；

④；

则点分别为的（   ）

A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心

12. 难度：中等

如图，在同一平面内，点位于两平行直线、同侧，且到，的距离分别为，，点，分别在，上，，则的最大值为（  ）

A.15 B.12 C.10 D.9

13. 难度：困难

如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（   ）

A.

B.

C.

D.

14. 难度：中等

已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是，

正确的个数是（   ）

A.1 B.2 C.3 D.4

15. 难度：中等

在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）.

A. B. C. D.

三、解答题

16. 难度：简单

已知直线及点P(3，4)，问：

（1）直线l是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标；若不经过，说明理由；

（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

17. 难度：中等

如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．

(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？

(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

18. 难度：中等

定义“矩阵”的一种运算，该运算的意义为点在矩阵的变换下成点，设矩阵

已知点在矩阵的变换后得到的点的坐标为，试求点的坐标；

是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．

19. 难度：简单

小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.

（1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由

（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围.

（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）