2020届河北省沧州市高三9月教学质量检测数学理试卷

一、单选题

1. 难度：简单

（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则A∩B=（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

已知抛物线，则焦点到准线的距离是（    ）

A. B. C.3 D.

4. 难度：简单

设a＝log₃5，b＝log₄5，c＝2，则（    ）

A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b

5. 难度：中等

某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

函数的部分图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知（1）（1+x）⁶的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中x²的系数为（    ）

A.15 B.21 C.30 D.35

9. 难度：中等

在以BC为斜边的直角△ABC中，，，则（    ）

A.3 B. C. D.2

10. 难度：中等

在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数f（x）的图象，则下列说法中正确的个数是（    ）

①函数f（x）的最小正周期为2π；

②函数f（x）的最大值为2；

③函数f（x）图象的对称轴方程为；

④设x₁，x₂为方程的两个不相等的根，则的最小值为.

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 难度：困难

已知F₁，F₂分别为双曲线C：的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF₁F₂，△BF₁F₂的内心，则|HG|的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为________.

14. 难度：中等

在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N（100，100），且的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.

参考数据，若，则，，.

15. 难度：简单

已知等比数列{a_n}，a_n＞0，n∈N*，且2a₁+3a₂＝33，，则a₂₀₂₀＝_____

16. 难度：困难

在四面体ABCD中，，，，二面角D-AC-B的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求cosA的值；

（2）若，求a的最小值.

18. 难度：中等

某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为，，，.

（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？

（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.

19. 难度：中等

如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD的中点.现分别沿BE，EC将△ABE 和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2.

（1）若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由.

（2）求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值.

21. 难度：中等

已知函数.

(1)当时，讨论函数的零点个数；

(2)当时，，证明：恒成立.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程，

（2）设直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.

23. 难度：中等

函数的最小值为.

（1）求的值，

（2）若，且，求的最小值．