2020届河北省九校高三上学期第二次联考试卷理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点在（   ）

A.第一象限 B.第三象限

C.直线上 D.直线上

3. 难度：中等

设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

函数的图象的大致形状是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（   ）

A.成本最大的企业是丙企业 B.费用支出最高的企业是丙企业

C.支付工资最少的企业是乙企业 D.材料成本最高的企业是丙企业

6. 难度：简单

设是公差大于0的等差数列，为数列的前n项和，则“”是“”的(     )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图网格纸中小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（     ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则，区域涂同色的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

某学生对函数的图象与性质进行研究，得出如下结论：

①函数在上单调递减，在上单调递增；

②点是函数的图象的一个对称中心；

③函数的图象关于直线对称；

④存在常数，使对一切实数均成立.其中正确的结论是（    ）

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

11. 难度：中等

已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（  ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为__________.

14. 难度：简单

已知的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.

15. 难度：困难

已知抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是________.

16. 难度：中等

三棱锥中，点到、、三点的距离均为，，，过点作平面，垂足为，连接，此时，则三棱锥外接球的体积为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，其外接圆半径满足.

（1）求的大小；

（2）已知的面积，求的取值范围.

18. 难度：中等

如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

椭圆的左焦点为，短轴长为，右顶点为，上顶点为，的面积为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过作直线与椭圆交于另一个点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.

20. 难度：困难

已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：在区间上有且仅有个零点.

21. 难度：困难

2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，.

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若与交于，两点，点的极坐标为，求的值.

23. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．

（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）若＝，求2^xy⋅2^yz⋅2^xz的最小值．