2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

设复数，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知向量，，，则为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：

①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；

③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.

其中正确的个数为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知实数、、满足，，，则（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知长方体的表面积为，，则该长方体的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

记双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的渐近线上，点、关于轴对称.若，，其中、、分别表示直线、、的斜率，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知数列满足，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，，.若，，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线、与抛物线分别交于、和、两点，其中直线过点，，.若，则当取到最大值时，（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

的展开式中，含项的系数为______.

14. 难度：中等

设实数、满足，则的最大值为______.

15. 难度：中等

已知长方体的体积为，，平面，若点到直线的距离与到直线的距离相等，则的最小值为______.

16. 难度：困难

已知函数，若函数仅有个零点，则实数的取值范围为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.

（1）求的大小；

（2）求的面积.

18. 难度：中等

随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.

（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的频率；

（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；

（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的周数为，求的分布列以及数学期望.

19. 难度：困难

如图，五面体中，，平面平面，平面平面.，，点P是线段上靠近A的三等分点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知点、分别是椭圆的上、下顶点，以为直径作圆，直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求（为坐标原点）的面积；

（2）若点、分别在直线、上，且，求直线的斜率.

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）若，判断函数的单调性并说明理由；

（2）若，求证：关的不等式在上恒成立.

22. 难度：中等

已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.