2020届黑龙江省哈尔滨市高三综合题（一）数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

已知集合，，若，则的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

下列说法正确的是（    ）

A.在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；

B.为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；

C.“”是“”的必要不充分条件；

D.命题：“，使得”的否定为：“，均有”.

5. 难度：中等

欧拉公式e^ix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 难度：简单

工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为

A.140 B.100 C.80 D.70

7. 难度：中等

阅读下面的程序框图，如果输出的函数值，那么输入的实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

若，，，，则等于（　　）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

设数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，且，，成等比数列，则前项和等于（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ）

A. B.

C. D.

11. 难度：困难

已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，满足，，且与的夹角为，则______.

14. 难度：中等

实数，满足条件，则的最大值为______.

15. 难度：中等

双曲线：的左、右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的焦点重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率______.

16. 难度：困难

已知南北回归线的纬度为，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地（纬度为）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有和的式子表示）.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，所对的边分别为，，，.

（1）求角；

（2）若，，求，的值.

18. 难度：中等

已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，、分别是棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

19. 难度：中等

某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：

（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；

（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；

（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为，求的分布列及均值.

20. 难度：困难

已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.

21. 难度：困难

已知，，直线，，与曲线所围成的曲边梯形的面积为.其中，且.

（1）当时，恒成立，求实数的值；

（2）请指出，，的大小，并且证明；

（3）求证：.

22. 难度：中等

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程（为参数）.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求点到直线距离的最大值.

23. 难度：中等

已知关于x的不等式.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若该不等式有实数解，求实数a的取值范围.