2020届甘肃省白银市靖远县高三上学期期末联考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

在等差数列中，，，若，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

某公司的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则（    ）

A.400 B.200 C.150 D.300

6. 难度：简单

函数在的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数是奇函数 B.其图象关于直线对称

C.在上的值域为 D.在上是增函数

10. 难度：中等

已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知，，，，设数列的前项和为，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

函数的图象在处的切线方程是，则___________.

14. 难度：简单

已知向量，的夹角为，且，，则________.

15. 难度：中等

如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

16. 难度：简单

抛物线的焦点为是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则_______.

三、解答题

17. 难度：中等

的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，点为边的中点，且，求的面积.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，是棱的中点.

（1）证明：平面.

（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积.

19. 难度：中等

某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

时长
人数	2	8	16	8	4	2

表2：女生

时长
人数	0	4	12	12	8	4

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

	每周运动的时长小于15小时	每周运动的时长不小于15小时	总计
男生
女生
总计

参考公式：，其中.

参考数据：

	0.40	0.25	0.10	0.010
	0.708	1.323	2.706	6.635

20. 难度：中等

已知函数.

（1）若，求在上的最大值；

（2）当时，有两个极值点、，证明：.

21. 难度：中等

设椭圆的离心率是，直线被椭圆C截得的弦长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当的面积最大时，求直线l的方程.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求

23. 难度：中等

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.