湖北省、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高一下学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合则等于（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列函数中，在其定义域内是奇函数的是 （    ）（是自然对数的底数）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

函数的最小正周期为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知向量若为实数，则＝（ ）

A.2 B.1 C. D.

5. 难度：简单

在中，为线段上的一点，，且，则

A.， B.，

C.， D.，

6. 难度：简单

已知等差数列的前项和为（），若，则（   ）

A.6 B. C. D.

7. 难度：中等

如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为

A.m B.

C. D.

8. 难度：简单

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（    ）

A.192里 B.48里 C.24里 D.96里

9. 难度：简单

已知数列是等差数列，且，，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知实数满足，则函数的零点在下列哪个区间内

A.  B.  C.  D.

11. 难度：中等

已知数列的前项和满足（），函数满足对任意都有，当时，，则的值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数（为常数，）的图象的一个最高点是，如果将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的倍，然后再向左平移个单位长度，就得到的图象.点是的图象上在轴左侧的最高点中离轴最近的最高点，点是的图象上在轴右侧的最低点中离轴最近的最低点，设（为坐标原点），则的值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，向量与向量的夹角为，则=_________；

14. 难度：简单

已知，则的值是_______.

15. 难度：中等

已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为_________.

16. 难度：困难

在正整数数列中，由开始依次按如下规则将某些数染成蓝色：先染；再染两个偶数；再染后面的最临近的个连续奇数；再染后面的最临近的个连续偶数；再染此后最临近的个连续奇数.按此规则一直染下去，得到一蓝色子数列，则在这个蓝色子数列中，由开始的第个数是________.

三、解答题

17. 难度：中等

在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列是首项为，公比为的等比数列，设，求数列的前项和.

18. 难度：中等

已知数列是公差大于零的等差数列，其前项和为，且， ， 成等比数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求满足的最大的的值.

19. 难度：中等

在中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.

（1）求的值； 

（2）若，的面积为，求的值.

20. 难度：困难

如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是规划的生态文旅园区，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为千米.根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点（不与重合）.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数；

（2）已知公路每千米的造价为万元，问建造这样一条公路，至少要投入多少万元？

21. 难度：困难

已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知函数，如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴和的图象分别交于点， ，直线与轴和的图象分别交于点，，设梯形的面积为，求数列的前项和.

（3）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

已知函数（），，.

（1）求的值，并判断函数的奇偶性（要给出理由）；

（2）求函数的单调增区间.