2020届江西省赣州市高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知函数，则（    ）

A. B.3 C.5 D.9

4. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

在的中，为的中点，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则的值为（    ）

A. B. C.2 D.3

7. 难度：简单

设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值为（    ）

A.2 B.3 C.6 D.12

8. 难度：简单

若将圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M，则在圆内随机放一粒豆子，落入M的概率是（ ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

某超市为了了解“微信支付”与“支付宝支付”的情况（“微信支付”与“支付宝支付”统称为“移动支付”），对消费者在该超市在2019年1-6月的支付方式进行统计，得到如图所示的折线图，则下列判断正确的是（    ）

①这6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多

②这6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大

③这6个月中4月份平均每天使用“移动支付”的次数最多

④2月份平均每天使用“移动支付”比5月份平均每天使用“移动支付”的次数多

A.①③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④

10. 难度：中等

在正三棱柱中，，是的中点，点在棱上运动，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

美不胜收的“双勾函数”是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，则其离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题

13. 难度：中等

展开式的常数项为        ．（用数字作答）

14. 难度：简单

已知实数满足不等式组，则的最大值为_________.

15. 难度：中等

过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4∶5，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_______.

16. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则_______.

三、解答题

17. 难度：简单

数列满足，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，在平行四边形中，，平面平面，且.

（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上的点，是椭圆上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.

20. 难度：中等

有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为.

（1）一轮游戏后，求的概率；

（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求的最小值.

21. 难度：困难

已知函数（为自然对数的底数）在点的切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程；

（2）若点与点分别为曲线动点，求的最小值，并求此时的点坐标.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.