2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（    ）

A.这五年，2013年出口额最少

B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降

D.这五年，2017年进口增速最快

4. 难度：简单

下列不等关系，正确的是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，，，则的值等于（    ）

A.21 B.1 C.-42 D.0

6. 难度：简单

若执行下图的程序框图，则输出的值为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

7. 难度：中等

函数的图像大致为（    ）.

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（    ）

A.的图象关于对称 B.在上有2个零点

C.在区间上单调递减 D.在上的值域为

9. 难度：简单

已知双曲线（）的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于（    ）

A. B.2 C. D.

10. 难度：中等

射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（    ）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）

A.0.110 B.0.112 C. D.

11. 难度：中等

已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：

①平面分正方体所得两部分的体积相等；

②四边形一定是平行四边形；

③平面与平面不可能垂直；

④四边形的面积有最大值.

其中所有正确结论的序号为（    ）

A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④

12. 难度：困难

已知函数，则函数的零点个数为（    ）（是自然对数的底数）

A.6 B.5 C.4 D.3

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量（1，1），，且∥，则的值等于__________.

14. 难度：中等

直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于__________.

15. 难度：简单

“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种__________.

16. 难度：困难

已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的体积等于__________，球的表面积等于__________.

三、解答题

17. 难度：简单

在中，内角所对的边分别为，若，.

（1）求；

（2）若边的中线长为，求的面积.

18. 难度：中等

“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：

研学游类型	科技体验游	民俗人文游	自然风光游
学校数	40	40	20

该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：

（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；

（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱中，平面平面，，.

（1）证明：；

（2）设，，求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

21. 难度：困难

已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；

（2）设方程（）有两个实数根，，求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为（3，1），求.

23. 难度：中等

已知函数（），不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）若，，，且，求的最大值.