上海市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则_______．

2. 难度：简单

已知向量，若，则＝________．

3. 难度：简单

行列式的元素的代数余子式的值为7，则________.

4. 难度：简单

若直线与的夹角是，则实数a的值为______．

5. 难度：简单

与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是_____________.

6. 难度：简单

设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______．

7. 难度：简单

直线：关于：对称的直线方程为___________.

8. 难度：中等

若直线和曲线有且只有一个交点，则实数的取值范围为______.

9. 难度：简单

设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长______.

10. 难度：中等

在中,,点是的外接圆圆心,则_________.

11. 难度：中等

已知椭圆及以下3个函数：①；②；③,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有______个.

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,且则的取值范围是_______.

13. 难度：中等

设A是平面向量的集合,是定向量,对定义现给出如下四个向量：

那么对于任意使恒成立的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号).

14. 难度：困难

记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在，，…上时，的最大值分别是，，…，则_____.

二、单选题

15. 难度：简单

已知关于的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）

A.

B.两两平行

C.

D.方向都相同

16. 难度：中等

方程的图像表示曲线，则以下命题中正确的有（    ）

①若，则曲线为椭圆；       ②若或，则曲线为双曲线；

③曲线不可能是圆；                ④若曲线表示椭圆，且长轴在轴上，则.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

17. 难度：中等

在约束条件下，若,目标函数的最大值变化范围是（    ）

A. B. C. D.

18. 难度：简单

若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（    ）

A.存在过点的直线与该双曲线相切

B.不存在过点的直线与该双曲线相切

C.至少存在一条过点的直线与该双曲线没有交点

D.存在唯一过点的直线与该双曲线没有交点

三、解答题

19. 难度：中等

已知圆，直线.

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；

（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.

20. 难度：简单

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

21. 难度：中等

已知：是同一平面内的三个向量，其中

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与垂直，求与的夹角.

（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

22. 难度：困难

已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；

（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．

23. 难度：困难

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆.

（1）若椭圆，判断与相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上，短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；

（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法.（不必证明）