专题21 空间向量与几何体-《巅峰冲刺2020年高考之二轮专项提升》

一、解答题

1. 难度：中等

如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

2. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点P，Q分别为A₁B₁，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

（2）求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值．

3. 难度：中等

    如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA₁＝，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A₁D－A的正弦值．

4. 难度：中等

如图，已知多面体ABC-A₁B₁C₁，A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

5. 难度：中等

（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

6. 难度：困难

如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

7. 难度：中等

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝ ，点E是棱PB的中点．

（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；

（2）求二面角B-EC-D的余弦值．

8. 难度：中等

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（1）若直线PB与CD所成角的大小为求BC的长；

（2）求二面角B－PD－A的余弦值．

9. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁E＝CF＝1.

（1）求异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；

（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

10. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝ ，点M是棱PC的中点．

（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；

（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

11. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA₁＝3，D是BC的中点．

(1) 求直线DC₁与平面A₁B₁D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

12. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E＝CF＝1.

（1）求两条异面直线AC₁与BE所成角的余弦值；

（2）求直线BB₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

13. 难度：中等

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

14. 难度：困难

如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.

（1）求的值；

（2）求二面角B-VC-D的余弦值．

15. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA₁＝2，E是棱CC₁的中点，点F满足 ＝2.

（1）求异面直线FE和DB₁所成角的余弦值；

（2）记二面角E-B₁F-A的大小为θ，求|cosθ|.

16. 难度：中等

如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.

（1）求直线AD与CE所成角；

（2）求二面角O-CE-B的余弦值．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA₁= 4．

（1）设，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求的值；

（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB₁—B的余弦值．

18. 难度：困难

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA₁＝2，＝λ.

（1）若λ＝1，求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

（2）若二面角B_1- A₁C₁-D的大小为60°，求实数λ的值．

19. 难度：中等

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知AB＝1，AA₁＝2，E，F，G分别是棱AA₁，AC和A₁C₁的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角F-BC_1-C的余弦值．

20. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD为菱形，A₁A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A₁C的中点．

（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；

（2）点M在线段A₁D上， ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

21. 难度：困难

如图，在棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，P为棱C₁D₁的中点，Q为棱BB₁上的点，且BQ＝λBB₁(λ≠0)．

（1）若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；

（2）若直线AA₁与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

22. 难度：困难

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

23. 难度：困难

如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

（1）求二面角P-CD-A的余弦值；

（2）已知H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．

24. 难度：困难

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）在线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．