上海市2019-2020学年高二上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知向量满足，，则的值为________.

2. 难度：简单

行列式中的元素的代数余子式的值为________.

3. 难度：简单

已知矩阵，则________.

4. 难度：简单

已知△三个顶点的坐标分别为、、，点为△的重心，则的值为________.

5. 难度：简单

若增广矩阵的线性方程组无解，则________.

6. 难度：中等

已知无穷数列的前项和，则集合的真子集的个数为________.

7. 难度：中等

已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.

8. 难度：中等

如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.

9. 难度：中等

已知平面向量满足，且，则的最大值与最小值之和为________.

10. 难度：中等

已知边长为1的正八边形的8个顶点依次为、、、、、、、，点为该八边形边上的动点，则的取值范围是________.

11. 难度：困难

设是给定的平面向量，且为非零向量，关于的分解，有如下个命题：

① 给定向量，总存在向量，使得；

② 给定不共线向量和，总存在实数和，使得；

③ 给定向量和整数，总存在单位向量和实数，使得；

④ 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得；

若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________.

12. 难度：困难

已知内一点是其外心，，且，则的最大值为________.

二、单选题

13. 难度：简单

设，，则方程的解集为（    ）

A. B. C. D.以上答案都不对

14. 难度：中等

函数的图像（    ）

A.关于直线对称 B.关于点对称

C.关于轴对称 D.关于原点对称

15. 难度：中等

若矩阵，记，以下四个命题中的矩阵都是阶矩阵，，则其中真命题的个数为（    ）

① 若，则；      ② 若，则；

③；                  ④ 若，则；

A.个 B.个 C.个 D.个

16. 难度：中等

已知角、满足，有如下两个命题：

① 存在为第一象限角，角为第三象限角；

② 存在为第二象限角，角为第四象限角；

则下列选项中，正确的是（    ）

A.①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误

三、解答题

17. 难度：中等

在△中，三个内角、、所对的边分别为、、.

（1）若，，求△面积的最大值；

（2）若，试判断△的形状，并说明理由.

18. 难度：中等

已知（）.

（1）求的值域；

（2）求方程的解集.

19. 难度：中等

如图，半径为的半圆上有一动点，为直径，为半径延长线上的一点，且，的角平分线交半圆于点．

（1）若，求的值；

（2）若三点共线，求线段的长．

20. 难度：困难

矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且.

（1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；

（2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上；

（3）已知△的顶点坐标为、、，且△在矩阵作用下变换成△，记△与△的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.

21. 难度：困难

对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.

（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；

（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；

（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.