北京市2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（    ）

A.45° B.60° C.90° D.135°

3. 难度：简单

设为第三象限角，，则（     ）

A. B. C. D.

二、多选题

4. 难度：简单

下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

三、单选题

5. 难度：中等

已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 (   )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数（且）的图像是下列图像中的（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（    ）

A.有一个对称中心 B.有一条对称轴

C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增

9. 难度：困难

对于函数f（x），若存在区间M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：

①f（x），②f（x）＝x³，③f（x）＝cosx，④f（x）＝tanx

其中存在“稳定区间”的函数有（    ）

A.①②③ B.②③ C.③④ D.①④

10. 难度：中等

延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）

A.满足的点必为的中点

B.满足的点有且只有一个

C.的最小值不存在

D.的最大值为

四、填空题

11. 难度：简单

函数的定义域为_________.

12. 难度：中等

在△ABC中，cosA，cosB，则cosC＝_____.

13. 难度：中等

已知tan（3π+α）＝2，则_____.

14. 难度：简单

若函数y＝log_a（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为_____.

15. 难度：简单

为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.

16. 难度：中等

已知函数，任取，记函数在区间上的最大值为最小值为记. 则关于函数有如下结论：

①函数为偶函数；

②函数的值域为；

③函数的周期为2；

④函数的单调增区间为.

其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）

五、解答题

17. 难度：中等

已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20.

（1）求•；

（2）是否存在实数λ，使λ与2共线？

（3）若（k2）⊥（），求实数k的值.

18. 难度：中等

已知函数f（x）＝cosx（acosx﹣sinx）（a∈R），且f （）.

（1）求a的值；

（2）求f（x）的单调递增区间；

（3）求f（x）在区间[0，]上的最小值及对应的x的值.

19. 难度：中等

如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？

20. 难度：困难

f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1﹣α）x₂）≤αf（x₁）+（1﹣α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数.

（1）试判断函数f₁（x）＝x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；

（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.