北京市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线为，则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得线性回归方程可能为(    )

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

某工厂生产、、三种不同型号的产品，其数量之比依次是，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么等于（  ）

A.50 B.60 C.70 D.80

4. 难度：简单

某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)

A. B. C. D.

5. 难度：简单

袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（  ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

2019年春运已经拉开序幕，在外漂泊的游子归家心切，有两位来自南方的北漂商讨着购票事宜，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是(    )

窗口	1	2	过道	3	4	5	窗口
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	…	…	…

A.48，49 B.62，63 C.75，76 D.84，85

7. 难度：简单

甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么至少有一人能解决这个问题的概率是(    )

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

在的二项展开式中，的系数为（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

11. 难度：中等

某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是(    )

A.48 B.72 C.84 D.168

12. 难度：困难

已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是(    )

A.①④ B.①③ C.②④ D.②③

二、填空题

13. 难度：简单

某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．

14. 难度：简单

随机变量的分布列如下：

	1	2	3	4	5	6
	0.2		0.25	0.1	0.15	0.2

则______，______.

15. 难度：中等

某市教委派出5名调查人员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，则共有______种不同的派遣方法.

16. 难度：简单

椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F₁，F₂．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________

17. 难度：中等

已知的展开式中没有项，且，则______.

18. 难度：困难

甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______.

三、解答题

19. 难度：简单

已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20. 难度：中等

、两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：

(1)试估计班的学生人数；

(2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记.求随机变量的分布列及数学期望.

(3)再从、两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）

21. 难度：简单

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：        

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）

（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．

22. 难度：困难

已知椭圆：的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当时，求的面积；

(3)求证：不论为何值，直线与直线的交点恒在一条定直线上.

23. 难度：困难

对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数

列具有“性质”．

不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同

时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．

（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；

（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；

（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，

数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．