2020届上海市普陀区高考一模数学试卷

一、解答题

1. 难度：中等

设函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

2. 难度：中等

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；

（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.

3. 难度：困难

已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

（1）求双曲线的方程；

（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；

（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.

4. 难度：困难

数列与满足，，是数列的前项和（）.

（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；

（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；

（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.

二、填空题

5. 难度：简单

若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.

6. 难度：简单

________.

7. 难度：简单

不等式的解集是              

8. 难度：简单

设是虚数单位，若是实数，则实数            

9. 难度：简单

设函数（且），若其反函数的零点为，则_______.

10. 难度：中等

展开式中含项的系数为__________（结果用数值表示）.

11. 难度：中等

各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则________.

12. 难度：中等

设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.

13. 难度：中等

记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.

14. 难度：中等

已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.

15. 难度：困难

设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.

16. 难度：中等

若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为________.

三、单选题

17. 难度：简单

“”是“”成立的 （   ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

18. 难度：中等

设集合，，若⊆，则对应的实数对有（   ）

A.对 B.对 C.对 D.对

19. 难度：简单

已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是（   ）

A.若，，则

B.若，在平面内，且，，则

C.若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交

D.若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交

20. 难度：困难

若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（   ）

A. B. C. D.

四、解答题

21. 难度：中等

如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）当三棱锥的体积为时，求的值.