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四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

已知某班有学生48人,为了解该班学生视力情况,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号,15号,39号学生在样本中,则样本中另外一个学生的编号是(    

A.26 B.27 C.28 D.29

 

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2. 难度:简单

设点是点关于平面的对称点,则等于(   

A. B.10 C. D.38

 

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3. 难度:简单

直线的位置关系是(   

A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定

 

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4. 难度:简单

如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为,下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么输出的结果是(    

 

A.9 B.8 C.7 D.6

 

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5. 难度:简单

方程所表示的直线与圆的位置关系是(    

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

 

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6. 难度:简单

关于直线mn及平面,下列命题中正确的个数是(   

①若,则                    ②若,则

③若,则                    ④若,则

A.0 B.1 C.2 D.3

 

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7. 难度:简单

已知为线性区域内的一点,若恒成立,则c的取值范围是(   

A. B. C. D.

 

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8. 难度:简单

已知点到直线的距离等于1,则实数m等于(    

A. B. C. D.

 

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9. 难度:中等

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.(注:如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数.)在不超过11的素数中,随机选取2个不同的数,其和小于等于10的概率是(    

A. B. C. D.

 

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10. 难度:中等

若圆心坐标为的圆,被直线截得的弦长为2,则这个圆的方程是(    

A. B.

C. D.

 

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11. 难度:简单

已知正三棱锥的外接球是球O,正三棱锥底边,侧棱,点E在线段上,且,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是(   

A. B. C. D.

 

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12. 难度:中等

在直角坐标系内,已知是以点C为圆心的圆上的一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为,若圆上存在点P使得,其中点,则t的取值范围是(   

A. B. C. D.

 

二、填空题
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13. 难度:简单

已知的平均数为a,则的平均数是__________.

 

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14. 难度:简单

秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当时的值为______________.

 

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15. 难度:中等

一条光线从点射出,经x轴反射,其反射光线所在直线与圆相切,则反射光线所在的直线方程为____.

 

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16. 难度:困难

如图所示,在长方体中,,点E是棱上的一个动点,若平面交棱于点,给出下列命题:

①四棱锥的体积恒为定值;

②存在点,使得平面 

③对于棱上任意一点,在棱上均有相应的点,使得平面

④存在唯一的点,使得截面四边形的周长取得最小值.

其中真命题的是____________.(填写所有正确答案的序号)

 

三、解答题
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17. 难度:简单

已知直线.

1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;

2)当点到直线l距离最大时,求直线l的方程.

 

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18. 难度:中等

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:.

1)求图中a的值;

2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数.

 

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19. 难度:简单

如图,把长为6,宽为3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱的交点记为.

 

1)在三棱柱中,若过三点做一平面,求截得的几何体的表面积;

2)求三棱柱中异面直线所成角的余弦值.

 

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20. 难度:中等

某公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:

间隔时间x/

10

11

12

13

14

15

等候人数y/

23

25

26

29

28

31

 

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.

1)从这6组数据中随机选取4组数据,求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率;

2)若选取的是中间4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”.

附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.

 

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21. 难度:简单

如图,在四棱锥中中,是正三角形.

1)求证:

2)求与平面所成角的余弦值.

 

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22. 难度:简单

已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点,圆.

1)求圆C的标准方程;

2)已知,圆Px轴相交于两点(点M在点N的右侧),过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于两点.问:是否存在实数a,使得?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.

 

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