2020届福建省高三下学期开学质检数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为(   )

A.  B.

C.  D.

2. 难度：中等

A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：

402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683

231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为　　

A. B. C. D.

3. 难度：简单

下列命题中，真命题是（    ）

A.， B.，

C.若，，则 D.是的充分不必要条件

4. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若，则（   ）

A.2 B. C.4 D.

5. 难度：中等

甲、乙、丙三明同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（  ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定

6. 难度：简单

“仁义礼智信”为儒家“五常”.由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，将“仁义礼智”排成一排，且“礼智”相邻的概率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知，则的值是（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

函数的图象不可能是(    )

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知向量满足，点在内，且，设，若，则（    ）

A. B.4 C. D.

10. 难度：中等

在中，若，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知，分别是椭圆：的左右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设复数，，若为纯虚数，则实数______.

14. 难度：简单

已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________.

15. 难度：简单

函数在区间内的零点个数为______.

16. 难度：困难

如图（1）在等腰直角中，斜边，为的中点，将沿折叠得到如图（2）所示的三棱锥.若三棱锥的外接球的半径为3，则的余弦值______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列前项和为，，公差，且，，成等比数列.

（1）求；

（2）若数列的前项和为，且，求.

18. 难度：中等

蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量，绘制下图所示频率分布直方图.

（Ⅰ）求的值，并求100个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）；

（Ⅱ）若经销商在下个销售周期购进了190吨该蔬菜，设为该销售周期的利润（单位：元），为该销售周期的市场需求量（单位：吨）.求与的函数解析式，并估计销售的利润不少于86000元的概率.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

20. 难度：困难

已知为坐标原点，椭圆：的焦距为，直线截圆：与椭圆所得的弦长之比为，椭圆与轴正半轴的交点分别为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，.试判断是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.

21. 难度：困难

设函数.

(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.

(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆的方程为，射线的极坐标方程为.

（1）求曲线和的极坐标方程；

（2）当时，若射线与曲线和圆分别交于异于点的、两点，且，求的面积.

23. 难度：中等

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：．