北京市2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为(    )

A.1 B.﹣1 C.4 D.﹣4

2. 难度：简单

若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）

A.y=±2x B.y= C. D.

3. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（   ）

A.4 B.2 C.1 D.8

4. 难度：中等

在空间中，“直线，没有公共点”是“直线，互为异面直线”的（    ）．

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是(    )

A.8π B.12π C.16π D.20π

6. 难度：简单

某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

7. 难度：中等

已知直线、，平面、，给出下列命题：

①若，，且，则   ②若，，且，则

③若，，且，则     ④若，，且，则

其中正确的命题是（   ）

A.①③ B.②④ C.③④ D.①

8. 难度：简单

如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（ ）

A.个 B.个

C.个 D.个

二、填空题

9. 难度：简单

直线被圆截得的弦长为___________

10. 难度：简单

设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为_________.

11. 难度：中等

已知点P是圆x²+y²=2上的动点，Q是直线l：3x﹣4y+15=0上的动点，则|PQ|的最小值为_____.

12. 难度：简单

正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．

13. 难度：中等

已知椭圆C₁：1及双曲线C₂：1，均以（2，0）为右焦点且都经过点（2，3），则椭圆C₁与双曲线C₂的离心率之比为_____.

14. 难度：困难

如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AB和CD的中点，一个平面分别与棱BC，BD，AD，AC交于E，F，G，H，且MN⊥平面EFGH.给出下列六个结论：①AC⊥BD，②AB//平面EFGH，③平面ABC⊥平面EFGH，④四边形EFGH的周长为定值；⑤四边形EFGH的面积有最大值；⑥四边形EFGH一定是矩形，其中，所有正确结论的序号是_____.

三、解答题

15. 难度：中等

在△中，角，，的对边分别为，，，且，．

（1）求的值；

（2）如果，求的值及△的面积．

16. 难度：中等

已知椭圆C：1的右顶点为A.上顶点为B.点E在椭圆C上，点E不在直线AB上.

（1）求椭圆C的离心率和直线AB的方程；

（2）若以AE为直径的圆经过点B，求点E的坐标.

17. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是矩形，平面DCC₁D₁⊥平面ABCD.AD=3，CD=DD₁=5，∠D₁DC=120°，M，N分别是线段AD₁，BD的中点.

（1）求证：MN//平面DCC₁D₁；

（2）求证：MN⊥平面ADC₁；

（3）求三棱锥D₁﹣ADC₁的体积.

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx﹣x+1.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：

（2）若非零实数a使得f（x）axax²对x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围.

19. 难度：困难

已知A，B，C是抛物线W：y²=4x上的三个点，D是x轴上一点.

（1）当点B是W的顶点，且四边形ABCD为正方形时，求此正方形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形ABCD是否可能为正方形，并说明理由.

20. 难度：困难

已知数列{a_n}满足：，且a_n+1（n=1，2…）集合M={a_n|}中的最小元素记为m.

（1）若a₁=20，写出m和a₁₀的值：

（2）若m为偶数，证明：集合M的所有元素都是偶数；

（3）证明：当且仅当时，集合M是有限集.