上海市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

以原点为顶点，轴为对称轴，并且经过的抛物线的标准方程为________．

2. 难度：简单

已知复数满足，则的虚部为________．

3. 难度：简单

已知向量，，，则________.

4. 难度：简单

双曲线x²＋ky²＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________

5. 难度：中等

设向量，若向量与向量共线，则     

6. 难度：简单

过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．

7. 难度：中等

已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_________.

8. 难度：简单

已知动圆过定点，且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹方程是_______．

9. 难度：简单

直线（t为参数）与双曲线交于A、B两点，求AB的弦长_____________．

10. 难度：中等

过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则                       ．

11. 难度：中等

将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中，分别为点到两个顶点的向量；若将点到正六角星个顶点的向量，都写成的形式，则的最大值为_________．

12. 难度：简单

已知直角坐标平面上任意两点、，定义为、两点的“非常距离”．当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是_________．

二、单选题

13. 难度：中等

设，为复数，则下列命题中一定成立的是（    ）

A.如果，那么 B.如果，那么

C.如果（为正实数），那么 D.如果（为正实数），那么

14. 难度：简单

在ΔABC中，若，则ΔABC是（ ）

A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.

16. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动

点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为（    ）

A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个

三、解答题

17. 难度：中等

复数（），

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求的范围．

18. 难度：中等

已知平面内向量，点Q是直线OP上的一个动点．

（1）当取最小值时，求的坐标；

（2）当点 满足（1）中的条件时，求的值．

19. 难度：中等

设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．

（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；

（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．

20. 难度：困难

已知定点，动点在轴上运动，过点作直线交轴于点，延长至点，使．点的轨迹是曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若，是曲线上的两个动点，满足，证明：直线过定点；

（3）若直线与曲线交于，两点，且，，求直线的斜率的取值范围．

21. 难度：困难

教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为．我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用．已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求的值；

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点．当变化时，求面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由.