湖南省衡阳市2019-2020学年高一上学期第三次考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

下列结论中正确的是（    ）

A.半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球

B.直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥

C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D.用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台

3. 难度：简单

函数的零点所在的大致区间是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴，那么原的、、三条线段中（    ）

A.最长的是，最短的是 B.最长的是，最短的是

C.最长的是，最短的是 D.最长的是，最短的是

5. 难度：简单

已知函数为奇函数，且当时，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

设函数，则函数的图像可能为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：困难

鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（    ）（容器壁的厚度忽略不计）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

设，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，，那么；（2）若，，，那么；（3）若，，那么；（4）若，，则，其中正确命题的序号是（    ）

A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）

11. 难度：困难

函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的有（    ）

A.①③ B.②③ C.②④ D.①②③④

12. 难度：困难

如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

求值：________.

14. 难度：简单

已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为____.

15. 难度：困难

设常数，则方程的解的个数组成的集合是_______.

16. 难度：中等

在矩形中，，现将沿矩形的对角线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线与直线垂直；

②存在某个位置，使得直线与直线垂直；

③存在某个位置，使得直线与直线垂直.

其中正确结论的序号是________________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知集合，集合

（1）当时，求，；

（2）若，求的取值范围.

18. 难度：中等

如图所示，有一块矩形铁皮，，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：

（1）矩形铁皮的长度；

（2）做成的圆锥体的体积.

19. 难度：中等

如图三棱柱中平面且，底面是边长为的等边三角形，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小.

20. 难度：中等

某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本万元，每处理一万吨垃圾需增加万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾处理量（万吨）满足关系：（注：总收益=总成本+利润）

（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量的函数关系；

（2）该市计划引入台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.

21. 难度：困难

已知四边形是正方形，平面，平面，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

22. 难度：困难

已知函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，则求出的值；若不具有“性质”，请说明理由；

（2）已知函数具有“性质”且函数在上的最小值为；当时，，求函数在区间上的值域；

（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数，在恰好存在个零点，求的取值范围.