2020届湖南省、雅礼中学等四校高三2月联考（线上）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则满足条件的集合B的个数为(    )

A.3 B.4 C.7 D.8

2. 难度：中等

已知为虚数单位，，复数，则（  ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知，，，若，则(    )

A.6 B. C.16 D.20

4. 难度：中等

已知数列满足（），，且，则(    )

A. B. C. D.

5. 难度：困难

将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是(    )

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为(    )

A.43斛 B.45斛 C.47斛 D.49斛

7. 难度：中等

已知点在内，且满足，现在内随机取一点，此点取自的概率分别记为，则（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知双曲线C：（，）的右焦点为，点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则(    )

A. B. C.2 D.

9. 难度：中等

当x为实数时，表示不超过x的最大整数，如.已知函数（其中），函数满足、，且时，，则方程的所有根的个数为(    )

A.3 B.4 C.5 D.6

10. 难度：中等

对四位数（，、c，），若、、，称为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为(    )

A.1695 B.1696

C.1697 D.1698

11. 难度：中等

中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①；②；③；④.其中正确命题的个数是(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 难度：困难

如图所示，将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为(    )

A.33 B.56 C.64 D.78

二、填空题

13. 难度：简单

若的展开式中第项为常数项，则______.

14. 难度：简单

我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数的图象与x轴围成一个封闭区域A（阴影部分），将区域A（阴影部分）沿z轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A（阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.

15. 难度：中等

已知变量x、y满足约束条件，在实数x、y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列的前9项，则、，则数列的前13项和的最大值为______.

16. 难度：中等

若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线上，则实数______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，多面体是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面为原正三棱柱的底面，，点D为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

18. 难度：中等

已知椭圆C：（）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线、的斜率为、，当时，求此时“卫星圆”的个数.

19. 难度：困难

已知首项为的数列各项均为正数，且，.

(1)若数列的通项满足，且，求数列的前n项和为；

(2)若数列的通项满足，前n项和为，当数列是等差数列时，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数构成的集合.

20. 难度：中等

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.

 

(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当且时，求函数的单调区间；

（2）当时，若函数的两个极值点分别为、，证明.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若M，N分别为曲线和曲线上的动点，求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数.

(1)解不等式；

(2)设函数的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：.