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2020届湖南省、雅礼中学等四校高三2月联考(线上)数学(文)试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

已知集合,则满足条件的集合B的个数为(    )

A.3 B.4 C.7 D.8

 

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2. 难度:中等

已知为虚数单位,,复数,则(  )

A. B. C. D.

 

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3. 难度:简单

已知,若,则(    )

A.6 B. C.16 D.20

 

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4. 难度:简单

已知命题p:“的否定是;命题q:“的一个充分不必要条件是,则下列命题为真命题的是(   

A. B.

C. D.

 

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5. 难度:中等

分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的谢尔宾斯基图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为谢尔宾斯基图形(如图所示),按上述操作7次后,谢尔宾斯基图形中的小正三角形的个数为(   

A. B. C. D.

 

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6. 难度:困难

将函数的图象向左平移)个单位长度后得到函数的图象,若使成立的ab,则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是(    )

A. B.

C. D.

 

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7. 难度:简单

《海岛算经》中有这样一个问题,大意为:某粮行用芦席围成一个粮仓装满米,该粮仓的三视图如图所示(单位:尺,1米),已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,则估算出该粮仓存放的米约为(    )

A.43 B.45 C.47 D.49

 

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8. 难度:中等

已知点内,且满足,现在内随机取一点,此点取自的概率分别记为,则(  )

A. B. C. D.

 

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9. 难度:中等

已知双曲线C)的右焦点为,点AB分别在直线和双曲线C的右支上,若四边形(其中O为坐标原点)为菱形且其面积为,则(    )

A. B. C.2 D.

 

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10. 难度:中等

x为实数时,表示不超过x的最大整数,如.已知函数(其中),函数满足,且时,,则方程的所有根的个数为(    )

A.3 B.4 C.5 D.6

 

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11. 难度:中等

对四位数c),若,称为“吉祥数”,则“吉祥数”的个数为(    )

A.1695 B.1696

C.1697 D.1698

 

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12. 难度:困难

如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为(    )

A.33 B.56 C.64 D.78

 

二、填空题
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13. 难度:中等

过抛物线C:上的一点M(非顶点)C的切线与x轴、y轴分别交于AB两点,则______.

 

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14. 难度:简单

我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图(1),函数的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分),将区域A(阴影部分)沿z轴的正方向上移6个单位,得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示,其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等,则此柱体的体积为______.

 

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15. 难度:中等

已知变量xy满足约束条件,在实数xy中插入7个实数,使这9个数构成等差数列的前9项,则,则数列的前13项和的最大值为______.

 

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16. 难度:困难

已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段长度的最小值为______.

 

三、解答题
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17. 难度:中等

如图,多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得,,点D的中点.

1)求证:平面

2)求点到平面的距离.

 

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18. 难度:困难

已知椭圆()的右焦点为F,左顶点为A,离心率,且经过圆O:的圆心.过点F作不与坐标轴重合的直线和该椭圆交于MN两点,且直线分别与直线交于PQ两点.

1)求椭圆的方程;

2)证明:为直角三角形.

 

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19. 难度:困难

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于或等于2,则称这个数列为D数列”.

1)若首项为1的等差数列的每一项均为正整数,且数列D数列,其前n项和满足(),求数列的通项公式;

2)已知等比数列的每一项均为正整数,且数列D数列,设(),试判断数列是否为D数列,并说明理由.

 

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20. 难度:中等

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中,上面7层为高尔顿板,最下面一层为改造的高尔顿板,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为12…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处,再以的概率向左滚下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处,再以的概率向右滚下.

 

(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率;

(2)小明同学在研究了高尔顿板后,利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动,8元可以玩一次高尔顿板游戏,小球掉入X号球槽得到的奖金为元,其中.

i)求X的分布列:

ii)高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?

 

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21. 难度:困难

已知函数.

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)当时,若函数的两个极值点分别为,证明.

 

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22. 难度:中等

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;

(2)若MN分别为曲线和曲线上的动点,求的最大值.

 

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23. 难度:中等

已知函数.

(1)解不等式

(2)设函数的最小值为m,已知正实数ab,且,证明:.

 

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