上海市2019-2020学年高二上学期12月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

椭圆的焦距是_________.

2. 难度：简单

直线截圆得到的弦长为    ．

3. 难度：简单

过点的圆的切线方程为________.

4. 难度：简单

双曲线的两条渐近线的夹角是_____.

5. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点为、，点P在此圆上，且，则的面积为________.

6. 难度：中等

若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为________.

7. 难度：中等

设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是      ．

8. 难度：中等

已知F是双曲线的左焦点，点，P是该双曲线右支上的一个动点，则的最小值为________.

9. 难度：中等

若椭圆上一动点到定点（）的距离的最小值为1，则________

10. 难度：困难

已知圆（），点是该椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，则的最小值等于________.

11. 难度：简单

椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是______．

12. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）

二、单选题

13. 难度：简单

方程表示圆的充要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 难度：困难

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

A.3 B.2 C. D.2

15. 难度：中等

设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若椭圆C上存在点M满足，则实数m的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹．以下结论正确的个数为（     ）．

（1）曲线一定经过原点；

（2）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；

（3）的面积不大于8；

（4）曲线在一个面积为60的矩形范围内．

A.0 B.1 C.2 D.3

三、解答题

17. 难度：中等

己知一个动点M在圆上移动，它与定点所连线段的中点为P.

（1）求点P的轨迹方程.

（2）过定点的直线与点P的轨迹交于A，B两点，求弦AB的中点C的轨迹.

18. 难度：中等

已知方程的曲线是圆C，

（1）若直线l：与圆C相交于M、N两点，且（O为坐标原点），求实数m的值；

（2）当时，设T为直线n：上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH而积的最小值.

19. 难度：中等

浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.

（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；

（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）

20. 难度：中等

己知两点，，动点P在y轴上的摄影是H，且，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线，的两个斜率存在，分别记为，，若，求点P的坐标；

（3）若经过点的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程.

21. 难度：中等

已知动点满足，记M的轨迹为曲线C，直线l：（）交曲线C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连接QE并延长交曲线C于点G.

（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线；

（2）若，求的面积.

（3）求面积的最大值.