2016届上海市高三下学期适应性考试（三模）（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为____.

2. 难度：简单

已知，，则_____.

3. 难度：中等

在的展开式中项的系数为______________.

4. 难度：中等

已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）

5. 难度：中等

已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差______________.

	0	4	8

6. 难度：简单

在极坐标系中，点，，为曲线的对称中心，则的面积等于______________．

7. 难度：简单

高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）

8. 难度：简单

在复数范围内，若方程的一个根为，则______________.

9. 难度：中等

将的图象按平移，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为______________.

10. 难度：困难

已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是_____．

11. 难度：中等

函数对任意都有，则称为在区间上的可控函数，区间称为函数的“可控”区间，写出函数的一个“可控”区间是________.

12. 难度：简单

椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是__________．

13. 难度：简单

用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；④若，则的概率为．

则下列正确命题的序号是______________．

14. 难度：中等

设（），且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组、、的值__________．（答案不唯一，一组即可）

二、单选题

15. 难度：简单

若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为（    ）

A.， B.，

C.， D.，

16. 难度：简单

在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）

A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的，且存在常数（）使得对任意实数都成立，则称是一个“-伴随函数”，有下列关于“-伴随函数”的结论：①是常数函数唯一一个“-伴随函数”；②“-伴随函数”至少有一个零点；③是一个“-伴随函数”；其中正确结论的个数（    ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

18. 难度：中等

设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（   ）

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

三、解答题

19. 难度：中等

在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；

（1）求的值；

（2）求直线到平面的距离.

20. 难度：中等

某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

21. 难度：中等

设函数

（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意，有，求的取值范围．

22. 难度：困难

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

23. 难度：困难

已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．