上海市2020届高三上学期11月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合，，则____.

2. 难度：简单

线性方程组的增广矩阵是______.

3. 难度：简单

已知函数的最小正周期为，则_____.

4. 难度：简单

一元二次方程的一个虚根为，则实数m=______.

5. 难度：中等

是的展开式各项系数的和，则______.

6. 难度：简单

已知f（x+1）=2^x-2，那么f^-1（2）的值是______．

7. 难度：中等

正方形的边长为1，是边上的动点，则的最大值为_______.

8. 难度：中等

如图，在梯形中，相交于O，记，，的面积分别为，则的取值范围是______.

9. 难度：困难

已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．

10. 难度：中等

已知夹角为60°，且，若，则的最大值为___.

11. 难度：简单

对于问题：“已知曲线与曲线有且只有两个公共点，求经过这两个公共点的直线方程”.某人的正解如下：曲线的方程与曲线的方程相加得，这就是所求的直线方程.理由是：①两个方程相加后得到的表示直线；②两个公共点的坐标都分别满足曲线的方程与曲线的方程，则它们就满足两个方程相加后得到的方程；③两点确定一条直线.用类似的方法解下列问题：若曲线与曲线有且只有3个公共点，且它们不共线，则经过3个公共点的圆方程为_______.

12. 难度：中等

在下列命题中：①在中，，，，则解三角形只有唯一解的充要条件是：；②当时，；③在中，若，则中一定为钝角三角形；④扇形圆心角为锐角，周长为定值，则它面积最大时，一定有；⑤函数的单增区间为，其中真命题的序号为_____.

二、单选题

13. 难度：简单

抛物线上不同三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点（    ）

A.到原点的距离成等差数列 B.到x轴的距离成等差数列

C.到y轴的距离成等差数列 D.到焦点的距离的平方成等差数列

14. 难度：中等

记实数中较小的数，函数的定义域都是R，则“都是偶函数”是“函数为偶函数”的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

15. 难度：简单

已知，则实数a的值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

16. 难度：中等

已知且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

已知矩形内接于圆柱上下底面的圆O，是圆柱的母线，若，，此圆柱的体积为.

（1）求此圆柱的高；

（2）异面直线与所成角的余弦值.

18. 难度：中等

已知函数

（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的x的集合；

（2）在中，角的对边分别为，若，，求a的最小值.

19. 难度：中等

已知，动点M满足.

（1）求动点M的轨迹的方程；

（2）设A，B是上异于点P的两点，若的倾斜角互补，求证直线斜率为定值.

20. 难度：中等

给定整数()，设集合，记集合．

（1）若，求集合；

（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；

（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

21. 难度：困难

设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，都有

（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；

（2）设函数（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，讨论函数的零点个数.