2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合，集合，则集合（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A.第二象限 B.第三象限

C.直线上 D.直线上

3. 难度：中等

矩形中，，，，分别为，的中点，则（    ）

A.4 B.6 C.8 D.10

4. 难度：简单

已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（    ）

A.8 B.10 C.11 D.12

5. 难度：简单

已知，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

设是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A.若,则 B.若,则

C.若，则 D.若,则

7. 难度：简单

下列函数中，以为最小正周期，且在区间上是增函数的是（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

椭圆与抛物线在第一象限相交于点为椭圆的左、右焦点.若,则椭圆的离心率是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知锐角满足,则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

知双曲线C：（，），点，为原点，以为直径的圆与圆：相交于点J，K.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益.假设起始投入1万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息）计算，经过100周，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为（    ）

A.1.3万 B.1.7万 C.2.3万 D.2.7万

12. 难度：困难

已知函数，当时，恒成立，则a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数若为奇函数，则_________.

14. 难度：困难

我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.

15. 难度：中等

中,若成等差数列,并且,则的三个内角中,最大的角的大小为__________.

16. 难度：困难

四面体中，则四面体外接球的表面积为__________.

三、解答题

17. 难度：中等

为庆祝建国70周年，校园文化节举行有奖答题活动，现有A，B两种题型，从A类题型中抽取1道，从B类题型中抽取2道回答，答对3道题获新华书店面值为15元的图书代金券，答对2道题获面值为10元的图书代金券，答对1道题获面值为5元的图书代金券，没有答对获面值为1元的图书代金券（作为鼓励）.甲同学参加此活动答对A类题的概率为，答对B类题的概率为.

（Ⅰ）求甲答对1道题的概率；

（Ⅱ）设甲参加一次活动所获图书代金券的面值为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

18. 难度：中等

已知数列的各项均为正数，且，，正项等比数列的前n项和为，且，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前n项和为，求证：.

19. 难度：中等

长方体中，F是AB的中点，直线平面，.

 

（Ⅰ）求长方体的体积；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.

20. 难度：困难

已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离d的比值为，设动点P形成的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点的直线与曲线C交于A，B两点，设，，过A点作，垂足为，过B点作，垂足为，求的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（Ⅱ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

（1）在曲线上任取一点,连接,在射线上取一点，使,求点轨迹的极坐标方程；

（2）在曲线上任取一点,在曲线上任取一点,求的最小值.

23. 难度：中等

已知函数（）的最小值为2.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，求的最大值.