重庆市2018-2019学年高二下学期第二次月考（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设命题，，则为（   ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 难度：简单

已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A.0.14 B.0.36 C.0.72 D.0.84

3. 难度：简单

已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（   ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

4. 难度：简单

平面直角坐标系下的点的极坐标是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的的值分别为6，10，1，则输出的的值为（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

6. 难度：简单

我们把分子分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化为利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ）

A.0 B. C.1 D.2

7. 难度：简单

设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

某几何体三视图如图所示，则在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（    ）

A.1 B.2 C.4 D.

9. 难度：简单

用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（    ）

A.1260 B.1320 C.1200 D.1140

10. 难度：中等

已知，若，则（    ）

A.10 B.20 C. D.

11. 难度：中等

设是双曲线的左右焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则__________.

14. 难度：简单

二项式的展开式中常数项为__________.

15. 难度：简单

诚诚、勤勤、立立、达达4位同学到四个社区做服务，每人只去一个社区，设事件为“四个人去的社区不相同”，为“勤勤独自去一个社区”，则概率等于__________.

16. 难度：中等

若是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.

三、解答题

17. 难度：中等

在直角坐标系中，已知直线过原点，倾斜角为，的圆心为，半径为2，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出直线和的极坐标方程；

（2）已知点为极轴与的交点（异于极点），点为直线与在第二象限的交点，求的面积.

18. 难度：中等

重庆市第八中学校为了解学生喜爱运动是否与性别有关，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如图所示的列联表.

	喜爱运动	不喜爱运动	合计
男生	22	8	30
女生	8	12	20
合计	30	20	50

附：，

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜爱运动”与“性别”有关；

（2）用分层抽样的方法从被调查的20名女生中抽取5名进行问卷调查，求抽取喜爱运动的女生、不喜爱运动的女生各有多少的人；

（3）在（2）抽取的女生中，随机选出2人进行座谈，求至少有1名是喜爱运动的女生的概率.

19. 难度：中等

如图，在等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若为棱上一点，且平面分三棱锥所得的上下两部分的体积比为，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

《复仇者联盟4：终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影，改编自美国漫威漫画，自2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况，随机抽取了100名观众的年龄，并分成，，，，，，七组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求这100名观众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）、中位数；

（2）该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性，观众可以选择是否参与抽奖活动（不参与抽奖活动按原价购票），活动方案如下：每张电影票价格提高10元，同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会，中奖1次则奖励现金元，中奖2次则奖励现金元，中奖三次则奖励现金元，其中且，已知观众每次中奖的概率均为.

①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少；

②据某时段内的统计，当时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动，并且每增加1元，则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变，抽奖活动给电影院带来的利润的期望为，求的最大值.

21. 难度：中等

设椭圆（）的左焦点为，过且轴垂直的直线与椭圆的一个交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，过且与垂直的直线与轴和轴分别交于、两点，记和的面积分别为、，若，求直线的方程.

22. 难度：困难

己知函数.

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）讨论的零点的个数.