浙江省杭州市2016-2017学年高一上学期12月竞赛测试(二)数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.

2. 难度：中等

若正数满足，则的最小值是___________.

3. 难度：中等

将正整数，，，，按第组含个数分组：，，，.那么在第__________组.

4. 难度：困难

数列，，，，中的最小项的值为__________.

5. 难度：困难

设函数当时单调递增，则的取值范围为__________.

6. 难度：困难

从个男生和个女生（）中任选个人当班长，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为__________.

7. 难度：困难

已知锐角，满足条件：，则__________.

8. 难度：中等

过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与其准线交于点，且，则__________．

二、解答题

9. 难度：中等

如图，直角梯形，，将沿折起来，使平面平面.如图，设为的中点，，的中点为.

（）求证：平面.

（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（）在线段上是否存在点，使得平面，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.

10. 难度：困难

已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.证明：

（）直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（）若过点，延长线段与交于点，当四边形为平行四边形时，则直线的斜率.

11. 难度：困难

设，是正整数，满足.证明：.

12. 难度：简单

如图是一个奖杯的三视图（单位：），底座是正四棱台．

（1）求这个奖杯的体积；（计算结果保留）

（2）求这个奖杯底座的侧面积．

13. 难度：中等

已知两个边长为的正三角形与.

（）当的距离为多少时，三棱锥的体积最大？

（）求三棱锥的体积最大时的表面积.

三、单选题

14. 难度：中等

棱台上、下底面面积比为，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（    ）

A. B. C. D.

15. 难度：中等

如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（    ）.

A. B. C. D.

16. 难度：中等

如图:直三棱柱的体积为V，点P、Q分别在侧棱和上，，则四棱锥B—APQC的体积为(    ) 

 

A. B. C. D.

四、填空题

17. 难度：简单

如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），则图2-①中的水面高度为               .

18. 难度：中等

棱长均为的三棱锥，其一个面水平放置，则它的侧视图的面积的最小值为__________.

19. 难度：中等

直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋)π，则旋转体的体积为___．

20. 难度：简单

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________.