北京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )

A.4 B.5 C.8 D.10

2. 难度：简单

如图，直三棱柱中，若，，，则等于（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知向量，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知向量分别是直线的方向向量，若，则 (　　)

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线左支上，且，则（    ）

A.1 B.13 C.17 D.1或13

6. 难度：简单

已知向量，且，则的值为（    ）

A.4 B.1 C.3 D.2

7. 难度：简单

设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 难度：简单

已知向量两两夹角都是，其模都为1，则等于（ ）

A. B.5 C.6 D.

9. 难度：简单

已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为(   )

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知抛物线的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则的标准方程为

A. B.

C. D.

11. 难度：简单

已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 （ ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，则与的数量积为______.

14. 难度：简单

在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

15. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线的方程为，则         .

16. 难度：中等

在长方体中，，，，为棱上一点，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为______.

17. 难度：简单

能够说明“方程的曲线是椭圆”的一个的值是______.

18. 难度：中等

正方体的棱长为1，为上的动点，为上的动点，则线段的长度的最小值为______.

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱、的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）证明：平面.

20. 难度：中等

已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段的垂直平分线的方程；

（3）求三角形的面积.（为坐标原点）

21. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱上一点，

（1）当为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值.若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

已知是椭圆：上的点，直线：交椭圆于不同的两点，.

（1）求的取值范围；

（2）若直线不过点，直线的斜率为，求直线的斜率；

（3）若直线不过点，直线的斜率为，求直线的斜率.