上海市2020届高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为__________________.

2. 难度：简单

函数的最小正周期为          .

3. 难度：简单

若，，则的范围是__________________.

4. 难度：简单

方程的解为x=_________________.

5. 难度：简单

集合，，则=_____________.

6. 难度：简单

在等差数列中，，则的最小值为________

7. 难度：中等

已知函数，则不等式的解集为_________________.

8. 难度：中等

已知函数是偶函数，若，则=___________.

9. 难度：中等

设函数，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为_____________.

10. 难度：困难

已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.

11. 难度：困难

如下图，数阵中每一个数分裂为下一行中的两个数，其中左侧的数为原数减去3，右侧的数为原数的相反数，若前n行中不同数字的个数为，则=____________.

12. 难度：困难

已知数列满足：对任意大于1正整数n都有成立，若，，则的值为_____________.

二、单选题

13. 难度：简单

若a为实数，则成立的一个充分不必要条件是（    ）

A. B. C. D.

14. 难度：中等

如图所示为函数的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么为（    ）

A. B.-1 C.1 D.

15. 难度：简单

《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（    ）

A.七尺五寸 B.二尺五寸 C.五尺五寸 D.四尺五寸

16. 难度：困难

定义在R上的函数满足：对于任意实数，有成立，函数，则以下说法中正确的是（    ）

A.函数在上可能单调递减

B.函数在上不可能单调递增

C.对于任意且，有成立

D.对于任意且，有成立

三、解答题

17. 难度：简单

在中，角的对边分别为，.

（1）若，，求a；

（2）若，求的面积的最大值.

18. 难度：中等

关于x的不等式的解集为A.

（1）求集合A；

（2）设集合，a恰好是B中绝对值最小的元素，求集合A.

19. 难度：中等

已知：.

（1）利用单调性定义证明：在区间上是增函数；

（2）若的图像与的图像没有公共点，求实数t的取值范围.

20. 难度：困难

定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：

（1）数列1，2，p，4是“等和数列”，求实数p的值；

（2）项数为的等差数列的前n项和为，，求证：是“等和数列”.

（3）是公比为q项数为的等比数列，其中且恒成立.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

21. 难度：困难

定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，我们称这样的函数是“型函数”.请解答以下问题：

（1）已知函数是“型函数”，求p和b的值；

（2）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、m和a的值，并说明理由.

（3）已知函数是一个“型函数”，且，是增函数，若是在区间上的图像上的点，求点M随着变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.