2019届江西省、南丰一中等六校高三下学期联考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知为虛数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第二象限 B.第四象限 C.直线上 D.直线上

2. 难度：中等

已知集合，，则集合的子集个数是（    ）

A.4 B.7 C.8 D.16

3. 难度：中等

若实数满足，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知抛物线：的焦点为点，准线为直线，点在抛物线上，设点到轴的距离为，若，则点到直线的距离为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（    ）

A.18 B.24 C.30 D.36

6. 难度：中等

已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（    ）

附：若随机变量，则，.

A.0.1359 B.0.7282 C.0.6587 D.0.8641

7. 难度：简单

如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（    ）

A.7 B.8

C.9 D.10

8. 难度：中等

已知等比数列，，且，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称作陀罗，闽南语称为“干乐”，北方称为“冰尜”或“打老牛”，以前多用木头制成，现在多为塑料或金属制.玩时可用绳子缠绕，用力抽绳，使它起立旋转.现有一陀螺，其三视图如图所示，其中俯视图中的为正三角形，则该陀螺的体积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数的图像关于轴对称，则的图像向左平移（    ）个单位，可以得到的图像（    ）.

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知双曲线的上焦点为，上、下顶点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，的中点为，连接交轴于点，若，，三点共线，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B.3 C. D.

12. 难度：中等

对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的一对“雷点”.已知，，若函数与恰有一个“雷点”，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知，，，的夹角为，且，则______.

14. 难度：中等

若的展开式中的系数为-160，则______.

15. 难度：中等

已知，满足约束条件，则的取值范围为______.

16. 难度：困难

已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四边形中，，，，且，，，四点共圆.

（1）求的长；

（2）求四边形面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面底面，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，且平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值.

19. 难度：中等

由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；

（2）（i）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；

（ii）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金元、元，元.设观众每次中奖的概率均为，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少元？（结果精确到个位）

20. 难度：困难

已知直线过点和椭圆：的焦点且方向向量为，且椭圆的中心关于直线的对称点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线交椭圆于点、，且满足（为原点）？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

设函数.

（1）当，求的极值；

（2）对函数图像上任意两个点，，，设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：.

22. 难度：中等

已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的极坐标方程并判断曲线的形状；

（2）设直线与曲线交于，两点，为坐标原点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集为，且，求实数的取值范围.