上海市2020届高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则____________

2. 难度：简单

若，则__________ ；

3. 难度：简单

若为纯虚数（是虚数单位），其中，则________

4. 难度：简单

高为，体积为的圆柱的侧面展开图的周长为___________．

5. 难度：简单

个不同的球，全部放到编号分别为的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有__________ 种方法；

6. 难度：中等

若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．

7. 难度：中等

在展开式中，项的系数为__________（结果用数值表示）

8. 难度：简单

如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙______m时，视角最大.

9. 难度：困难

已知为坐标原点，过椭圆上一点的切线分别交轴于两点，则当最小时，__________ ；

10. 难度：困难

已知实数满足，，则的最大值是__________ ；

11. 难度：困难

已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围__________ ；

12. 难度：困难

已知数列满足:，，其中表示不超过实数的最大整数，设为实数，且对任意的正整数，都有(其中符号为连加号，如)，则的最小值是__________ ；

二、单选题

13. 难度：简单

若实数满足约束条件，则的最大值是（  ）

A. B.1

C.10 D.12

14. 难度：简单

设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（    ）

A. B. C.-2 D.2

16. 难度：中等

已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

（2）若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

18. 难度：中等

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值.

19. 难度：中等

华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得万元到万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的.

（1）请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；

（2）若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定正整数的取值集合.

20. 难度：困难

已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.

21. 难度：困难

已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.

（1）数列是等差数列，求的值；

（2）令，若，求数列的通项公式；

（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.