2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为_______.

2. 难度：简单

关于、的方程组的增广矩阵为________

3. 难度：简单

己知函数的反函数,则_______

4. 难度：简单

设为纯虚数(为虚数单位),则________.

5. 难度：简单

己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____.

6. 难度：简单

已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________.

7. 难度：简单

椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________.

8. 难度：中等

己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则________.

9. 难度：中等

在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为_______.

10. 难度：中等

己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.

11. 难度：困难

己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________.

12. 难度：困难

向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:

①若为“类集”,则集合也是“类集”;

②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;

③若都是“类集”,则也是“类集”;

④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.

其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)

二、单选题

13. 难度：中等

已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（       ）

A. B. C. D.

14. 难度：简单

要得到函数的图象,只要将的图象(    )

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

15. 难度：简单

设为复数,则下列命题中一定成立的是(    )

A.如果,那么 B.如果,那么

C.如果,那么 D.如果,那么

16. 难度：困难

对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是(    )

A.若则 B.

C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,分别为棱的中点.

（1）求证:、、、四点共面；

（2）求异面直线与所成的角.

18. 难度：中等

己知函数其中为实常数.

（1）若,解关于的方程;

（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.

19. 难度：中等

东西向的铁路上有两个道口、,铁路两侧的公路分布如图,位于的南偏西,且位于的南偏东方向,位于的正北方向,,处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人,发现北偏东方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要分钟,救护车和火车的速度均为.

（1）判断救护车通过道口是否会受火车影响,并说明理由;

（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明.

20. 难度：困难

如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为

（1）若,求点的坐标;

（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;

（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.

21. 难度：困难

己知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质.

（1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由;

（2）己知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:;

（3）己知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围.