重庆市校2019届高三下学期第四次月考（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则的子集个数是（    ）

A.1个 B.3个 C.4个 D.8个

2. 难度：简单

在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知平面向量，，则与的夹角等于（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知双曲线（）的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率等于（    ）

A.2 B. C.5 D.

5. 难度：简单

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（    ）

A. B.3或 C.3 D.

7. 难度：简单

已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为，方差记为，则（    ）

A.， B.，

C.， D.，

8. 难度：简单

阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（    ）

A.7 B.8 C.9 D.10

9. 难度：中等

将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）

A.，的最小值为 B.，的最小值为

C.，的最小值为 D.，的最小值为

10. 难度：简单

如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的(　　)

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知过原点的直线与函数的图像有且只有三个交点，是交点中横坐标的最大值，则的值为（    ）

A.10 B.8 C.4 D.2

12. 难度：中等

已知平面向量，，，，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若实数满足约束条件，则的最大值为__________.

14. 难度：简单

的展开式中的系数为________．

15. 难度：中等

六位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________.

16. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，双曲线（）的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为__________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角对边的边长分别是，己知.

（1）求内角；

（2）若边，且，求的面积.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点

（1）证明：；

（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.

19. 难度：中等

人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀，某班名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：

（Ⅰ）现从听力等级为的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望：

（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号（其中为1，2，3，4的一个排列），记，可用描述两次排序的偏离程度，求的概率.

20. 难度：中等

椭圆（）的离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数,其中

为自然对数的底数.

(1)当时，讨论函数的单调性;

(2)当时，求证:对任意的.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，己知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点在曲线上运动，点为线段的中点.

（1）求动点的运动轨迹的参数方程；

（2）若直线与的公共点分别为，当时，求的值.

23. 难度：中等

已知均为实数.

（1）求证：；

（2）若，，，证明：.