天津市西青区2019-2020学年高三第一学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，集合B＝{2,3,4,5,6,7}，则集合A∩B等于（    ）

A.{2} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{2，3，5，7}

2. 难度：简单

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）²﹣c²，则tanC＝（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设，，则“”是“”的（     ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

已知a＝log₂3﹣log₂，b＝log_0.5π，c＝0.9^﹣1.1，则（　  　）

A.c＞a＞b B.a＞b＞c C.a＞c＞b D.b＞c＞a

5. 难度：简单

正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为，例如＝9，则等于（    ）

A.2018 B.2019 C.2020 D.2021

6. 难度：困难

双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

设函数f（x）＝sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象与直线y＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，且f（x）+f（﹣x）＝0，若g（x）＝sin（ωx+φ），则（　  　）

A.g（x）在（0，）上单调递增 B.g（x）在 （0，）上单调递减

C.g（x）在（，）上单调递增 D.g（x）在（，）上单调递减

8. 难度：困难

已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

已知i为虚数单位，z，则|z|＝_____．

10. 难度：简单

在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图，但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______．

11. 难度：中等

在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)

12. 难度：中等

已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____．

13. 难度：中等

已知ab＞0，a+b＝3，则的最小值为_____．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，A（1，1），则的取值范围为___

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B）．

（Ⅰ）求角B的大小、b边的长：

（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．

16. 难度：中等

为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A、B两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A组每道题的概率均为，答对B组每道题的概率均为．

（Ⅰ）按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率；

（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ．

17. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N^*），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃＝12，b₃＝a₄﹣2a₁，S₁₁＝11b₄．

（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n（n∈N*）．

18. 难度：中等

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．

（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为，求线段CG的长．

19. 难度：困难

已知椭圆C：（a>b>0），四点P₁（1,1），P₂（0,1），P₃（–1，），P₄（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）令，已知函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围.