河北石家庄一中2018-2019学年高二下学期3月月考理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A.3 B.2 C.5 D.无数个

2. 难度：简单

已知是虚数单位，且是实数，则（    ）

A.2 B.1 C. D.0

3. 难度：简单

要使和同时成立，则，必须同时满足的条件是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为

	初一年级	初二年级	初三年级
女生	373	x	y
男生	377	370	z

A.24 B.18 C.16 D.12

5. 难度：中等

双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A.3 B. C. D.

6. 难度：简单

如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为，则的值是（ ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，则 的值是

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（   ）

A.1 B. C. D.

10. 难度：中等

设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是集合的一个“孤立元”，给定，则的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（    ）

A.6 B.15 C.20 D.25

11. 难度：中等

已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（      ）

A. B. C. D.

二、填空题

12. 难度：简单

已知点向量，则向量的坐标是_____

13. 难度：中等

已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素，设数列的前项和，则数列的通项公式为______.

14. 难度：中等

已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______.

15. 难度：中等

在中，内角的对边分别为且．的外接圆半径为1, ,若边BC上一点D满足，且，则的面积为______

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为的前项和，求证：.

17. 难度：中等

已知是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）当时，求的取值范围.

18. 难度：困难

四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.

（1）证明：；

（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．

（1）求物理原始成绩在区间的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．

（附：若随机变量，则，，）

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为． 

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）以曲线上的点为切点做曲线的切线，设分别与、轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切.当圆的面积最小时，求与面积的比．

21. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.