2020届湖南省长沙市高三上学期月考（四）数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则(  )

A.  B.

C.  D.

2. 难度：中等

已知复数满足，则在复平面内复数对应的点为

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在等比数列中，，则(  )

A. 2 B. 4 C.  D.

4. 难度：中等

一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

函数的图象大致是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

若函数在区间上的最大值为6，则（   ）

A.2 B.4 C.6 D.8

8. 难度：中等

已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)

A.［－1,) B.(－，－1］ C.[1，) D.(－，1］

9. 难度：简单

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）²﹣c²，则tanC＝（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

函数在上存在导数，若，则必有（  ）

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（  ）

A.2022 B.1011 C.2020 D.1010

二、填空题

13. 难度：中等

设为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为______.

14. 难度：简单

已知正实数满足，则的最小值为_______．

15. 难度：中等

已知数列的前项和为，则______．

16. 难度：困难

定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

等差数列中，公差，，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18. 难度：中等

由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限（年）与所支出的维修费用（万元）之间，有如下统计资料：

（年）	2	3	4	5	6
（万元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

假设与之间呈线性相关关系.

（1）求维修费用（万元）与设备使用年限（年）之间的线性回归方程；（精确到0.01）

（2）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？

参考公式：回归方程，其中，.

19. 难度：中等

如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20. 难度：困难

已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，直线分别交直线于点．

(1）求证：为定值；

（2）求的最小值．

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；

（2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）求与的交点的直角坐标；

（2）求上的点到直线的距离的最大值．

23. 难度：中等

设，已知函数，．

（1）若是的零点，求不等式的解集：

（2）当时，，求的取值范围．