2020届内蒙古阿拉善盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，集合，，若，则（    ）

A.7 B.8 C.9 D.10

2. 难度：简单

已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 难度：简单

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（    ）

A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱

4. 难度：困难

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若实数满足则的最小值是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种

A.12 B.36 C.72 D.108

7. 难度：中等

数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是  

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

8. 难度：简单

执行如图的程序框图，则输出的(    )

A.4 B.5 C.6 D.7

9. 难度：中等

已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为(    )

A. B. C.2 D.

10. 难度：简单

如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知是腰长为4的等腰直角三角形，，为平面内一点，则的最小值为(    )

A. B. C.0 D.

二、填空题

13. 难度：简单

在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率，则在内取值的概率为         .

14. 难度：中等

已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于    .

15. 难度：中等

已知向量 若 ，则 的值为__________．

16. 难度：中等

函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在中，，点在边上，且.

（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.

18. 难度：中等

近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?

	对服务满意	对服务不满意	合计
对商品满意	80
对商品不满意		10
合计			200

（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.

临界值表：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

的观测值：（其中）.

19. 难度：困难

如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，点分别在棱上，且平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的余弦值

20. 难度：中等

已知函数在点处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于，两点，点的直角坐标为．

（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求的值．

23. 难度：中等

已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．