2020届湖南省高三12月大联考数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若向量，，且，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

设函数若是奇函数，则（    ）

A. B. C. D.1

4. 难度：中等

已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列判断正确的是　　

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，，则

5. 难度：中等

函数的零点所在的区间为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A.16 B.19 C.20 D.25

7. 难度：中等

已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

设，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l：与抛物线C：相交于A，B两点，，且，则（    ）

A.7 B.8 C.9 D.10

11. 难度：困难

棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为（    ）

A. B.

C. D.

12. 难度：困难

设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设向量，，，则______．

14. 难度：中等

现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．

①若，则的最大值为；

②若，，是等差数列的前3项，则；

③“”的一个必要不充分条件是“”；

④若且，则．

15. 难度：中等

若函数在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为__________．

16. 难度：困难

如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

设函数．

（1）若曲线与x轴的交点为A，求曲线在点A处的切线方程；

（2）证明：．

18. 难度：中等

已知四棱锥的直观图如图所示，其中，，两两垂直，，且底面为平行四边形.

（1）证明：.

（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥的体积.

19. 难度：中等

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，二面角的大小为120°，点在棱上，且，点为的重心.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

21. 难度：中等

已知数列满足．

（1）证明：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和．

22. 难度：困难

已知函数．

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）当时，若存在，，，使，证明：．