2020届辽宁省沈阳市高三上学期12月阶段测试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知的定义域为，的定义域为，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

等差数列的前项和为，，则是（    ）时取得最大值？

A.1 B.9 C.10 D.17

4. 难度：中等

下列命题正确的个数是（    ）

（1）如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体.

（2）存在所有的面都是直角三角形的多面体.

（3）选择适当的放置角度，梯形的平行投影可能是平行四边形.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

5. 难度：中等

无论取何值，直线恒过（    ）

A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

6. 难度：中等

（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

甲烷的分子结构模型如图所示.四个氢原子构成正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体中心，则键之间的键角的正切值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

这三个数，按从小到大的顺序排列依次是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（    ）

A. B. C. D.0

10. 难度：中等

如图，在一个平面角为60°的二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则（    ）

A.6或 B.6或2 C.或2 D.6

11. 难度：困难

高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内求小球落到第7个格子（从左开始）的概率是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

为平面外任一点，且，点为点在平面内的射影，点为线段的中点，，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.

14. 难度：中等

如图，正方体的棱长为1，是的中点，是的中点，是的中点，用平面截该正方体，则截面图形的周长是________.

15. 难度：中等

点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________.

16. 难度：中等

下列四个命题中正确的序号为_______.

①在同一直角坐标系中，的图象与的图象关于轴对称.

②在同一直角坐标系中，的图象与的图象关于直线对称.

③函数满足，则的图象关于点对称.

④函数满足，则的图象关于直线对称.

三、解答题

17. 难度：中等

在数列中，已知，

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；

(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.

19. 难度：中等

如图所示，为山脚两侧共线的三点，计划沿直线开通穿山隧道.为求出隧道的长度，在山顶处测得三点的俯角分别为；测得.用以上数据（或其中的部分数据）表示隧道长度.

20. 难度：困难

已知椭圆经过两点.

（1）求椭圆的方程.

（2）已知点，直线过点并且与相交于、两点，求面积的最大值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）设是函数的图象上的任意两点，若存在使成立，求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线；直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的普通方程.

（2）设直线与曲线交于、两点，直线与轴交于点，求的值.

23. 难度：中等

设均为正数，且.

（1）证明：；

（2）证明：.