安徽省安庆市2018-2019学年高二下学期期中数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（     ）

A. B.5

C. D.

2. 难度：简单

有一段演绎推理是“任何实数的绝对值都大于0，是实数，则”，则这个演绎推理出错在（      ）

A.推理形式错误 B.小前提错误 C.大前提错误 D.没有出错

3. 难度：简单

函数在区间上的平均变化率等于（  ）

A.4 B. C. D.4x

4. 难度：简单

用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

5. 难度：简单

与曲线相切且过原点的直线的斜率为（    ）

A.2 B.-5 C.-1 D.-2

6. 难度：中等

如果复数满足，为虚数单位，那么的最小值是（      ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

函数的导数是（      ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BCA＝90°，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC＝CA＝CC₁，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

9. 难度：中等

已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知函数，，为自然对数的底数，，则函数的最大值为（      ）

A. B.1 C. D.以上都不对

11. 难度：中等

已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（      ）

A. B. C.或 D.

12. 难度：困难

已知函数，若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（      ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．

14. 难度：中等

若平面的一个法向量为，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，Aα，Bα，则点到平面的距离为__________．

15. 难度：中等

______.

16. 难度：中等

经研究发现，三次函数都有对称中心，设其为，则，反之也成立，其中是函数的导函数的导数.已知，若对任意的实数，函数在和处的切线互相平行，则实数______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数，为虚数单位.

（1）求的值；

（2）类比数列的有关知识，求的值.

18. 难度：困难

已知数列满足，.

（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；

（2）用数学归纳法证明：当时，.

19. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数在处的切线方程为，求，的值；

（2）若，，证明：当时，.

20. 难度：中等

如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，点是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的大小.

21. 难度：困难

为庆祝某校一百周年校庆，展示该校一百年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图.点是半径上一点，点是圆弧上一点，且.为了实现“以展养展”，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元.设弧度，广告位出租的总收入为元.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.

22. 难度：困难

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：.