2020届陕西省高三第二次模拟数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集U＝R，，则（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知数列为等差数列，且，则的值为（     ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（      ）

A.150 B.200 C.300 D.400

4. 难度：中等

给出下列四个结论：

①若命题，，则；

②集合满足：，则符合条件的集合的个数为3；

③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；

④设复数满足，为虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限；

其中正确结论的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 难度：简单

直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

图象可能是（　　）

A.  B.

C.  D.

7. 难度：困难

设，，则（  ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知等比数列的前项和，则（  ）

A. B.3 C.6 D.9

9. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为(    ).

A.  B.  C.  D.

10. 难度：困难

设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为(     ).

A. B. C. D.

11. 难度：困难

若函数的图象过点，在下列结论中：

（1）函数是周期函数            （2）函数关于直线对称

（3）函数关于点对称中心    （4）函数的最大值是

则正确结论的个数（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 难度：困难

若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

在三棱锥中，底面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为___．

14. 难度：中等

若非零向量满足，则__________．

15. 难度：中等

直线与曲线在第一象限围成封闭图形的面积为，则的展开式中，的系数为____________．

16. 难度：中等

庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_．

三、解答题

17. 难度：中等

的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.

（1）求角的大小和的长；

（2）设的角平分线交于，求的面积.

18. 难度：困难

在四棱锥中，，．

（1）若点为的中点，求证：平面；

（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．

分数
可能被录取院校层次	专科	本科	重本

图（3）

（1）求和频率分布直方图中的，的值；

（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；

（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

20. 难度：困难

已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.

21. 难度：困难

设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知与，的公共点分别为，，，当时，求的值．

23. 难度：困难

选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设，若的最小值为，求的值.