2020届湖南省长沙市高三月考（三）文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数的共轭复数满足：，则复数在复平面上对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据（ ），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论正确的是（    ）

A.y与x具有正的线性相关关系

B.若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则

C.当销售价格为10元时，销售量为100件

D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右

5. 难度：简单

直线与圆的位置关系是（    ）

A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交不过圆心

6. 难度：简单

我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 难度：简单

等差数列的前n项和为，若，且，则使得的最小正整数=（    ）

A.9 B.10 C.11 D.12

9. 难度：简单

已知奇函数满足，则的取值可能是（    ）

A.4 B.6 C.8 D.12

10. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框①中可以填入的条件是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

设抛物线 的焦点为，点在 上， ，若轴上存在点 ，使得 ，则的值为  （   ）

A.或 B. C. D.或

二、填空题

13. 难度：简单

函数的图象在点处的切线方程是_______________.

14. 难度：中等

已知向量与的夹角为，，，则                .

15. 难度：简单

如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

16. 难度：中等

在中，角的对边分别为，且满足条件，则的周长为______________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的前n项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，比较与的大小.

18. 难度：简单

已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）

甲部门	6	7	8
乙部门	6	6.5	7	7.5
丙部门	5.5	6	6.5	7	8.5

（1）求该单位乙部门的员工人数；

（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；

（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B.假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率.

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥的底面是梯形，，且，O为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点C到平面的距离.

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过定点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点.证明：以为直径的圆过椭圆的右顶点.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）当时，若函数在R上有唯一零点，求t的值.

22. 难度：中等

已知圆，曲线（为参数）.

（1）化圆和曲线的方程为普通方程；

（2）过圆的圆心且倾斜角为的直线交曲线于两点.求圆心到两点的距离之积.

23. 难度：中等

    已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)；

(2).