2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合，，则_____.

2. 难度：中等

已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.

3. 难度：简单

某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.

4. 难度：简单

函数过定点________.

5. 难度：简单

等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.

6. 难度：简单

小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.

7. 难度：中等

在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.

8. 难度：中等

如图所示的流程图中，输出的值为______.

9. 难度：简单

圆关于直线的对称圆的方程为_____.

10. 难度：困难

正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.

11. 难度：中等

双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.

12. 难度：中等

对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.

13. 难度：中等

在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.

14. 难度：困难

函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.

二、解答题

15. 难度：中等

在中，角所对的分别为，向量，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值.

16. 难度：中等

在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.

（1）求证:平面；

（2）求证:.

17. 难度：困难

已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.

（1）求的周长；

（2）求面积的最大值.

18. 难度：中等

一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元

（1）求发酵池边长的范围；

（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.

19. 难度：困难

已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20. 难度：困难

设函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，().

（i）求的取值范围；

（ii）求证:随着的增大而增大.

21. 难度：中等

已知，矩阵，若矩阵属于特征值5的一个特征向量为，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵.

22. 难度：简单

已知曲线:，（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设曲线与曲线交于两点，求的长.

23. 难度：中等

如图，矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，，，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

24. 难度：中等

对于任意的，，用数学归纳法证明:.