云南省大理市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.

A. 36 B. 37 C. 41 D. 42

3. 难度：简单

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A.2 B.3 C.5 D.6

4. 难度：简单

已知，均为单位向量，，则 

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

在中，角，，的对边分别为，，，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个 B.120个 C.96个 D.72个

7. 难度：中等

已知，则的大小关系为

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

在区间上分别任取两个数，若向量， ，则的概率是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 难度：简单

已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{}满足：，（），则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 难度：中等

已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）

A.2 B. C.3 D.

12. 难度：中等

已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为       ．

14. 难度：简单

在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）

15. 难度：中等

在等差数列{}中，满足＞0，且，则的最小值为____________．

16. 难度：中等

在锐角中，所对边分别为，且，则的取值范围为_______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，

(I)求最小正周期；

(II)求在区间上的最大值和最小值.

18. 难度：简单

某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，，分组，整理如下图：

 

（1）求频率分布直方图（图乙）中的值，并估计1200个日销售量中，数据在区间中的个数.

（2）从日销售量在的甲种酸奶的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列.

19. 难度：中等

已知数列满足，，.

（Ⅰ）    证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）    设，求数列的前项和.

20. 难度：中等

如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21. 难度：中等

2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.

(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；

(3)甲同学发现，其物理考试成绩(分)与班级平均分(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.

参考数据: ，，，.

参考公式：，，(计算时精确到).

22. 难度：困难

已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.

（1）求圆的标准方程：

（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.